等差数列

01 · 出发点

相邻项保持固定差

如果每一步增加或减少同一个量，所形成的数列具有稳定的线性变化。例如每排座位比前一排多 $3$ 个，就得到公差为 $3$ 的等差数列。

等差数列的本质是相邻两项之差恒定。沿序号方向每前进一步增加一个公差，因此通项关于 $n$ 是一次式。

02 · 概念

公差、通项与一次函数联系

数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，当且仅当存在常数 $d$，使 $a_{n+1}-a_n=d$。由连续累加可得 $a_n=a_1+(n-1)d$。

任意两项满足 $a_n-a_m=(n-m)d$；若 $p+q=r+s$，则 $a_p+a_q=a_r+a_s$。特别地，等距三项满足 $2a_n=a_{n-k}+a_{n+k}$。

03 · 方法

识别并求解等差关系

1. 01

   设基本量：通常以首项 $a_1$ 和公差 $d$ 为未知量，把已知项翻译成线性方程。

2. 02

   利用下标差：已知两个非首项时，优先使用 $a_n-a_m=(n-m)d$ 求公差。

3. 03

   求解并检验：得到通项后代回至少两个已知项，再计算目标项或判断单调性。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界