函数的单调性

在指定区间内比较函数值，判断函数的增减趋势。

约 12 分钟函数的概念与性质

本文章目录

01 · 出发点

比较输入顺序与输出顺序

函数图象从左向右上升或下降，描述的是输入增大时输出的整体趋势。单调性必须在指定区间内讨论，不能只凭局部几处点的高低判断。

严格定义通过任意两个输入 $x_1<x_2$ 的函数值关系刻画。这个定义既可用于证明，也能帮助辨析一条图象在不同区间上的变化。

02 · 概念

若区间 $I$ 内任意 $x_1<x_2$ 都有 $f(x_1)<f(x_2)$ ，则 $f$ 在 $I$ 上严格递增；若总有 $f(x_1)>f(x_2)$ ，则严格递减。非严格单调则把关系换成 $\leq$ 或 $\geq$ 。

函数在两个相邻区间上分别递增，不一定能直接说它在并集上递增，因为跨越间断点时还要比较两侧函数值。单调区间通常写成连续区间。

03 · 方法

04 · 例题

证明 $f(x)=x^2$ 在区间 $(-\infty,0]$ 上单调递减。

解

1
任取 $x_1<x_2\leq0$ ，则 $x_2-x_1>0$ ；又因 $x_1<x_2\leq0$ ，所以 $x_1<0$ ，从而 $x_1+x_2<0$ 。
2
计算 $f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)$ 。
3
因为第一个因子为正、第二个因子为负，所以 $f(x_2)-f(x_1)<0$ 。

05 · 辨析

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