条件概率

01 · 出发点

已知信息会改变我们观察样本空间的方式

掷一枚骰子，若已经知道点数为偶数，那么点数为 6 的可能性不再在六个结果中比较，而是在 2、4、6 三个结果中比较。条件信息把原样本空间缩小到了事件 $B$ 内部。

条件概率 $P(A\mid B)$ 表示在事件 $B$ 已经发生的条件下事件 $A$ 发生的概率。它不是把 $B$ 当成额外乘数，而是重新计算 $A\cap B$ 在 $B$ 中所占的比例。

02 · 概念

条件概率的定义

当 $P(B)>0$ 时，$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$。分子要求 $A,B$ 同时发生，分母把 $B$ 作为新的总体，因此结果仍在 $0$ 与 $1$ 之间。

条件的先后顺序不能交换。$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 的分母不同，含义也不同；阅读符号时应先读条件线右侧的已知事件。

03 · 方法

从条件到交事件

1. 01

   明确 $A$ 是目标事件、$B$ 是已知事件，并确认 $P(B)>0$。

2. 02

   求同时满足目标与条件的交事件 $A\cap B$。

3. 03

   用 $P(A\cap B)$ 除以 $P(B)$，并检查结果是否符合条件后的直观范围。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界