笛卡尔数学高中数学
几何画板
1.1数一数与一一对应小学数学 · 0—10 的认识1.20 的认识小学数学 · 0—10 的认识1.30—10 的读写小学数学 · 0—10 的认识1.4大小比较与排序小学数学 · 0—10 的认识1.5数的组成与分解小学数学 · 0—10 的认识2.1加法的意义小学数学 · 10 以内加减法2.210 以内加法小学数学 · 10 以内加减法

16.10

极坐标与坐标互化

理解极坐标的几何意义，并在极坐标与平面直角坐标之间进行简单互化。

约 12 分钟上海增补直线与圆
本文章目录

01 · 出发点

用距离和方向定位平面上的点

平面直角坐标用水平、竖直位移定位点，极坐标则用到极点的距离 rr 和从极轴转过的角 θ\theta 定位点。后者适合描述绕中心旋转或与方向相关的曲线。

同一点的极坐标并不唯一：角度可增加 2kπ2k\pi；若允许负极径，还可把 rr 变号并将 θ\theta 增加 π\pi。互化时必须结合点所在象限确定角。

02 · 概念

极径、极角与两套坐标

以原点为极点、xx 轴正半轴为极轴时，x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta，因此 r2=x2+y2r^2=x^2+y^2。由 tan⁡θ=yx\tan\theta=\dfrac yx 只能确定角的正切值，仍需用 x,yx,y 符号判断象限。

直角坐标方程化极坐标方程时直接代入 x,yx,y；极坐标方程化直角坐标方程时常乘以适当的 rr，再利用 r2=x2+y2r^2=x^2+y^2 与 rcos⁡θ=xr\cos\theta=x。操作中要检查是否引入极点等额外解。

03 · 方法

在两种坐标间准确互化

  1. 01

    直角坐标化极坐标时先求 r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}，再由三角函数值和象限确定 θ\theta。

  2. 02

    极坐标方程化直角坐标方程时优先凑出 r2r^2、rcos⁡θr\cos\theta、rsin⁡θr\sin\theta，再完成配方或识别曲线。

  3. 03

    把选定的极坐标代回 x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta，并检查角范围及可能的极点增根。

04 · 例题

把方法落到具体问题

例 1点与曲线的坐标互化

求点 P(−3,1)P(-\sqrt3,1) 的一组极坐标；并把极坐标方程 r=4cos⁡θr=4\cos\theta 化为直角坐标方程。

解

  1. 1

    点 PP 的极径 r=(−3)2+12=2r=\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}=2，且 cos⁡θ=−32, sin⁡θ=12\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}2,\ \sin\theta=\dfrac12。

  2. 2

    点 PP 在第二象限，可取 θ=5π6\theta=\dfrac{5\pi}6，所以一组极坐标为 (2,5π6)(2,\dfrac{5\pi}6)。

  3. 3

    对 r=4cos⁡θr=4\cos\theta 两边乘 rr，得 r2=4rcos⁡θr^2=4r\cos\theta，即 x2+y2=4xx^2+y^2=4x，配方为 (x−2)2+y2=4(x-2)^2+y^2=4。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

  • 极坐标用极径和极角描述点，表示通常不唯一。
  • x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta 是两种坐标互化的核心。
  • 确定极角要结合象限，方程变形要检查极点与增根。