6.5 函数模型的应用 | 笛卡尔数学

01 · 出发点

经历建立、求解、检验和解释的完整循环

函数建模不是把文字题翻译成公式后就结束。模型是现实问题的简化，需要明确假设、确定参数、完成求解，并评价答案在情境中是否可信。

同一个数学结果在实际中还要解释单位、时间边界和取整方式。若预测超出数据范围，模型误差与机制变化也必须纳入判断。

02 · 概念

建立模型时选择变量并提出合理假设，用已知数据确定函数类型和参数；求解阶段利用方程、不等式、单调性或最值回答数学问题。

检验阶段将结果代回条件或与实际数据比较；解释阶段把函数值、解集和误差翻译回情境。必要时根据偏差修改模型并重新计算。

03 · 方法

04 · 例题

某物质初始质量为 $12\text{ mg}$ ，每 6 小时减为原来的一半。至少经过多少小时，质量不超过 $3\text{ mg}$ ？

解

1
在衰减规律保持不变的假设下，建立 $M(t)=12\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{6}}$ ，其中 $t\geq0$ 。
2
要求 $12\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{6}}\leq3$ ，即 $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{6}}\leq\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2$ 。
3
底数 $\frac12$ 介于 0 和 1，函数递减，因此 $\frac t6\geq2$ ，得到 $t\geq12$ 。
4
代入 $t=12$ 得 $M(12)=3\text{ mg}$ ，边界满足“不超过”的要求。

05 · 辨析

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