三类函数的增长差异

比较幂、指数与对数函数在不同范围内的增长速度。

约 12 分钟幂、指数与对数函数

本文章目录

01 · 出发点

比较长期增长而不是只比一个点

对数、幂和指数函数在某些有限区间内可能交错大小，但当 $x$ 足够大时，它们的增长层级会稳定下来。单个点的数值大小不能代表长期增长速度。

正底数大于 1 的指数函数最终超过任意固定正幂函数，正幂函数最终超过对数函数。这一差异解释了复利增长、算法复杂度和尺度压缩中的巨大数量级变化。

02 · 概念

当 $a>1$ 、 $b>1$ 、 $r>0$ 时， $x\to+\infty$ 过程中， $\log_a x$ 的增长慢于 $x^r$ ，而 $x^r$ 的增长慢于 $b^x$ 。这里的“慢于”指比值趋于 0，而非对每个正 $x$ 都保持固定大小。

离散比较中可研究相邻项比值。例如 $\frac{b^n}{n^r}$ 的相邻比为 $b\left(\frac n{n+1}\right)^r$ ；当 $n$ 足够大时该比值大于 1，于是指数项相对幂项持续拉开。

03 · 方法

04 · 例题

说明对所有整数 $n\geq10$ ，都有 $2^n>n^3$ 。

解

1
先检查起点： $2^{10}=1024>1000=10^3$ 。
2
设 $R_n=\frac{2^n}{n^3}$ ，则 $\frac{R_{n+1}}{R_n}=2\left(\frac n{n+1}\right)^3$ 。
3
当 $n\geq4$ 时， $2\left(\frac n{n+1}\right)^3>1$ ，所以 $R_n$ 从 $n=4$ 起严格递增。
4
因此 $n\geq10$ 时 $R_n\geq R_{10}>1$ ，即 $2^n>n^3$ 。

05 · 辨析

回看