空间向量的投影与投影向量

01 · 出发点

一个空间向量沿指定方向贡献多少

一个空间向量沿指定方向产生多大作用，可由它在该方向上的投影刻画。投影数量带正负，投影向量则同时保留大小和指定方向。

向平面的正投影可理解为从原向量中去掉法向分量。直线投影与平面投影都依赖垂直分解和数量积。

02 · 概念

数量投影、投影向量与正交分解

向量 $\boldsymbol a$ 在非零向量 $\boldsymbol b$ 方向上的投影数量为 $\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|}$，投影向量为 $\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|^2}\boldsymbol b$。二者一个是标量，一个是与 $\boldsymbol b$ 平行的向量。

若平面法向量为 $\boldsymbol n$，则 $\boldsymbol a$ 在法向方向的投影向量为 $\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol n}{|\boldsymbol n|^2}\boldsymbol n$，$\boldsymbol a$ 在该平面内的投影向量为 $\boldsymbol a-\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol n}{|\boldsymbol n|^2}\boldsymbol n$。

03 · 方法

分解平行和垂直分量

1. 01

   明确要的是投影数量、投影长度还是投影向量，并确认指定方向向量非零。

2. 02

   计算数量积和方向向量模的平方，代入投影公式后完成数乘。

3. 03

   用“投影向量平行指定方向、剩余向量垂直指定方向”两个条件复核分解。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界