椭圆的几何性质

01 · 出发点

从标准方程读出椭圆形状

标准方程不仅用于判断点是否在椭圆上，还能直接读出椭圆的范围、对称性、顶点和扁平程度。方程中的两个分母控制两个坐标方向的伸展。

离心率 $e=\dfrac ca$ 量化焦点偏离中心的程度。对椭圆有 $0<e<1$；$e$ 越接近 $0$ 越接近圆，越接近 $1$ 越扁长。

02 · 概念

范围、顶点、焦点与离心率

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的范围是 $|x|\le a,\ |y|\le b$，关于 $x$ 轴、$y$ 轴和原点对称，顶点为 $(\pm a,0),(0,\pm b)$。

焦点为 $(\pm c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，离心率 $e=\dfrac ca$。中心在原点的椭圆平移后，所有这些坐标也随中心一起平移。

03 · 方法

先定长轴再计算几何量

1. 01

   把方程化为右侧为 $1$ 的标准式，比较分母确定 $a,b$ 和长轴方向。

2. 02

   由 $c^2=a^2-b^2$ 求焦点，再列出中心、范围、顶点和对称轴。

3. 03

   计算 $e=\dfrac ca$ 并检查其位于 $(0,1)$，用分母大小复核图形宽窄。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界