解三角形及其应用

根据已知边角选择定理，处理测量、多解和范围问题。

约 12 分钟三角恒等变换与解三角形

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01 · 出发点

根据已知条件选择解三角形工具

解三角形是由部分边角条件求其余边角。关键不是套固定顺序，而是识别已知条件类型并选择正弦定理、余弦定理或面积公式。

测距、测高问题还需把现实对象抽象成三角形，说明测量角的含义，并在最后还原单位和精度。

02 · 概念

ASA、AAS 通常先用内角和补角，再用正弦定理；SAS 先用余弦定理求第三边；SSS 用余弦定理求角；SSA 用正弦定理并检查 0、1、2 解。

面积可用 $S=\dfrac12bc\sin A$ ，也可在求得必要边角后计算。所有结果都必须满足内角和、边角对应和三角形不等式。

03 · 方法

04 · 例题

同岸两点 $A$ 、 $B$ 相距 100 米，河对岸一点 $C$ 满足角 $A=60^\circ$ 、角 $B=45^\circ$ 。求 $AC$ 的长度。

解

1
三角形 $ABC$ 中， $C=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ$ ，已知边 $AB=100$ 对应角 $C$ 。
2
由正弦定理， $\dfrac{AC}{\sin45^\circ}=\dfrac{AB}{\sin75^\circ}$ ，所以 $AC=\dfrac{100\sin45^\circ}{\sin75^\circ}$ 。
3
$\sin75^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ ，化简得 $AC=100(\sqrt3-1)\,\text{m}\approx73.2\,\text{m}$ 。

05 · 辨析

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