余弦定理

01 · 出发点

勾股定理向任意三角形的推广

直角三角形满足勾股定理；当夹角不是直角时，第三边平方还会受到夹角余弦的修正。

余弦定理适合已知两边及夹角求第三边，也适合已知三边求角，并能判定三角形是锐角、直角还是钝角。

02 · 概念

余弦定理及其变形

在三角形 $ABC$ 中，$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，另外两式循环对应。若 $A=90^\circ$，$\cos A=0$，公式退化为勾股定理。

移项可得 $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$。因为内角在 $(0,\pi)$ 内，余弦值唯一确定角，并可由符号判断角的类型。

03 · 方法

用余弦定理求边或求角

1. 01

   已知 SAS 时对准夹角和对边写公式，先求对边平方，再取正长度。

2. 02

   已知 SSS 时用移项公式求目标角余弦，分母 $2bc$ 中的两边必须夹住目标角。

3. 03

   利用边长大小或余弦符号检查结果，并验证三边满足三角形不等式。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界