14.7

数列求和

根据数列结构选择分组、错位相减和裂项相消等求和方法。

约 12 分钟数列

本文章目录

01 · 出发点

不是每个数列都能直接套公式

不是每个数列都能直接套用等差或等比求和公式。复杂和式常隐藏着可分组、可相减或可消去的结构，识别结构比机械展开更重要。

常用方法包括分组求和、错位相减、裂项相消以及先求通项再求和。选择方法的依据是项的代数形式，而不是题目表面上出现了哪些符号。

02 · 概念

分组、裂项与错位相减

分组法把原项拆为若干熟悉数列并分别求和；错位相减适合“等差因子 $\times$ 等比因子”；裂项相消把通项写成相邻两项之差，使内部项抵消。

裂项后必须写出首部和尾部若干项，明确哪些项抵消、哪些边界项保留。求和范围改变时，保留下来的边界也会改变。

03 · 方法

先辨结构再选择求和策略

01
分析通项：因式分解、部分分式或拆项，寻找等差、等比与相邻差结构。
02
展开边界：至少写出前两项和后两项，确认抵消方向与求和上限。
03
整理检验：化简闭式后代入 $n=1$ 或 $n=2$ ，与原和式直接计算进行核对。

04 · 例题

把方法落到具体问题

求 $S_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k(k+1)}$ 。

解

1
作部分分式分解： $\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ 。
2
展开求和： $S_n=(1-\dfrac12)+(\dfrac12-\dfrac13)+\cdots+(\dfrac1n-\dfrac1{n+1})$ 。
3
中间项全部抵消，保留 $1-\dfrac1{n+1}=\dfrac n{n+1}$ ；当 $n=1$ 时结果为 $\dfrac12$ ，与原式一致。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

求和前先识别通项结构，再选择分组、错位相减或裂项相消。
裂项相消的结果由求和区间的边界项决定。
用小 $n$ 直接计算检查闭式，能快速发现项数和边界错误。