17.9 直线与圆锥曲线 | 笛卡尔数学

01 · 出发点

直线穿过圆锥曲线时留下什么

直线与圆锥曲线联立后，通常得到一元二次方程。它的根对应交点的某个坐标，判别式对应公共点个数，根的和与积则能在不逐个求根时处理弦中点和定值。

弦长不能简单等于两个横坐标之差，除非弦平行于 $x$ 轴。一般直线 $y=kx+b$ 上两点的距离应结合斜率乘上 $\sqrt{1+k^2}$ 。

02 · 概念

将直线代入圆锥曲线，得到 $Ax^2+Bx+C=0$ 。若 $A\ne0$ ，则 $\Delta>0$ 有两个交点， $\Delta=0$ 相切， $\Delta<0$ 无实交点；还需保证原曲线和参数没有额外限制。

若交点横坐标为 $x_1,x_2$ ，韦达定理给出 $x_1+x_2=-\dfrac BA$ 、 $x_1x_2=\dfrac CA$ 。直线斜率为 $k$ 时，弦长为 $\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 。

03 · 方法

04 · 例题

直线 $x=y+2$ 与抛物线 $y^2=4x$ 相交于 $P,Q$ ，求弦 $PQ$ 的中点和长度。

解

1
代入 $x=y+2$ 得 $y^2=4(y+2)$ ，即 $y^2-4y-8=0$ ，判别式 $48>0$ ，故有两个交点。
2
解得 $y_1=2+2\sqrt3,\ y_2=2-2\sqrt3$ ；对应 $x_1=4+2\sqrt3,\ x_2=4-2\sqrt3$ ，所以中点为 $(4,2)$ 。
3
两坐标差的绝对值都为 $4\sqrt3$ ，故 $|PQ|=\sqrt{(4\sqrt3)^2+(4\sqrt3)^2}=4\sqrt6$ 。

05 · 辨析

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