8.7 平行与垂直的向量判定

01 · 出发点

用代数条件判定方向关系

平面几何中的平行与垂直可以转化为向量关系。坐标给出后，图形是否画得准确不再影响判断。

平行对应一个向量是另一个非零向量的实数倍，垂直对应数量积为零，两种条件都可化成坐标等式。

02 · 概念

对 $\boldsymbol a=(x_1,y_1)$ 、 $\boldsymbol b=(x_2,y_2)$ ，两向量共线等价于 $x_1y_2-x_2y_1=0$ 。该行列式形式不需要除法，能避免坐标为 $0$ 时的遗漏。

两非零向量垂直等价于 $x_1x_2+y_1y_2=0$ 。用于直线方向向量时，即可判定两直线平行或垂直。

03 · 方法

04 · 例题

已知 $\boldsymbol a=(2,k)$ ， $\boldsymbol b=(3,-6)$ 。分别求 $\boldsymbol a\parallel\boldsymbol b$ 和 $\boldsymbol a\perp\boldsymbol b$ 时 $k$ 的值。

解

1
平行时使用 $2\times(-6)-3k=0$ ，得到 $-12-3k=0$ 。
2
解得平行情形 $k=-4$ ；此时 $\boldsymbol a=(2,-4)=\dfrac23\boldsymbol b$ ，验证成立。
3
垂直时使用 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=2\times3+k\times(-6)=0$ ，解得 $k=1$ ；代回数量积为 $0$ 。

05 · 辨析

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