17.1

轨迹与方程

把动点满足的几何条件转化为坐标方程。

约 12 分钟圆锥曲线

本文章目录

01 · 出发点

从运动条件追踪所有可能位置

动点在运动过程中满足某个不变条件，所有可能位置组成轨迹。坐标法把“不变距离”“固定方向”等几何条件转化为含 $x,y$ 的方程。

轨迹方程必须具备双向对应：轨迹上的每个点都满足方程，方程的每个实数解也都对应允许的轨迹点。只完成一个方向会产生漏解或增解。

02 · 概念

轨迹、纯粹性与完备性

求轨迹方程通常先建立合适坐标系，设动点 $M(x,y)$ ，再把几何条件用距离、斜率或向量关系表示并化简。最后注明坐标范围或删除不合条件的点。

“由条件推出方程”说明必要性，“由方程还原条件”说明充分性。平方、约分和两边同乘含变量式都可能改变解集，因此要进行回代与几何复核。

03 · 方法

建系、翻译条件并检验

01
建系设点：让定点、对称轴或定直线具有简单坐标，设动点 $M(x,y)$ 。
02
翻译化简：把几何条件写成坐标关系，进行等价变形并记录分母、根式等限制。
03
检查完备性：回代验证充分性，剔除增根，补充端点、象限或参数范围并识别曲线。

04 · 例题

把方法落到具体问题

已知 $A(-2,0),B(2,0)$ ，求与 $A,B$ 距离相等的动点 $M(x,y)$ 的轨迹方程。

解

1
由条件 $MA=MB$ ，写成 $\sqrt{(x+2)^2+y^2}=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$ 。
2
两边均非负，平方并消去 $y^2$ ： $x^2+4x+4=x^2-4x+4$ ，故 $8x=0$ 。
3
得到 $x=0$ 。反过来，任一点 $(0,y)$ 到 $A,B$ 的距离都为 $\sqrt{4+y^2}$ ，所以没有增点。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

轨迹是满足给定条件的全部点组成的集合。
坐标法通过设点、翻译条件和等价化简建立轨迹方程。
必要性与充分性检查共同保证方程既不漏点也不增点。