函数的奇偶性

01 · 出发点

用关于原点的输入比较函数值

有些函数图象关于 $y$ 轴对称，有些关于原点中心对称。这些几何特征可由 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的代数关系准确描述。

谈奇偶性前，定义域必须关于原点对称；否则 $-x$ 可能不在定义域中，比较便没有意义。零函数是既奇又偶的特殊函数。

02 · 概念

奇函数与偶函数

若定义域 $D$ 关于原点对称，且对任意 $x\in D$ 有 $f(-x)=f(x)$，则 $f$ 为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。

若对任意 $x\in D$ 有 $f(-x)=-f(x)$，则 $f$ 为奇函数，图象关于原点对称。若奇函数在 $x=0$ 处有定义，则由 $f(0)=-f(0)$ 可得 $f(0)=0$。

03 · 方法

用定义判断函数奇偶性

1. 01

   先求定义域并检查：若 $x$ 在定义域中，$-x$ 是否也一定在定义域中。

2. 02

   计算并化简 $f(-x)$，将它分别与 $f(x)$、$-f(x)$ 比较。

3. 03

   根据恒等关系给出奇、偶或非奇非偶的结论，必要时用图象对称性复核。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界