11.3

表面积与体积

计算柱、锥、台和球的表面积与体积。

约 12 分钟立体几何初步

本文章目录

01 · 出发点

展开表面并累积空间

表面积度量几何体外部边界的面积，体积度量它占据空间的大小。两者单位维数不同，计算时必须分清侧面、底面与内部公共面。

柱体和锥体的体积都可用底面积与高表示；圆柱、圆锥的侧面积则来自沿母线展开后的矩形或扇形。

02 · 概念

柱、锥、台与球的公式

柱体体积 $V=Sh$ ，锥体体积 $V=\dfrac13Sh$ 。棱台或圆台体积为 $\dfrac{h(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)}3$ ，其中 $S_1$ 、 $S_2$ 是两底面积。

球的表面积为 $4\pi R^2$ ，体积为 $\dfrac43\pi R^3$ 。圆柱侧面积 $2\pi rh$ ，圆锥侧面积 $\pi rl$ ，其中 $l$ 为母线长。

03 · 方法

计算组合体的面积和体积

01
画出或想象展开图，明确哪些面暴露在外；表面积按外表面分块求和。
02
体积把组合体拆成基本几何体相加，挖去部分则相减，统一长度单位。
03
识别半径、底面积、垂直高度和母线，代入后检查面积单位为平方、体积单位为立方。

04 · 例题

把方法落到具体问题

圆锥底面半径为 3，高为 4，求其总表面积和体积。

解

1
母线 $l=\sqrt{3^2+4^2}=5$ 。
2
侧面积为 $\pi rl=15\pi$ ，底面积为 $\pi r^2=9\pi$ ，所以总表面积为 $24\pi$ 。
3
体积 $V=\dfrac13\pi r^2h=\dfrac13\times9\pi\times4=12\pi$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

表面积只统计外部边界。
体积公式使用垂直高度。
组合体可通过体积加减和表面分块处理。