复数的概念

01 · 出发点

为负数开平方扩充数系

实数范围内方程 $x^2+1=0$ 没有解。引入满足 $i^2=-1$ 的虚数单位 $i$ 后，这类方程获得解，实数系也扩充为复数系。

每个复数都能唯一写成 $a+bi$，其中 $a$、$b$ 为实数。实部和虚部是两个实数分量，不能把 $bi$ 整体称为虚部。

02 · 概念

复数的代数形式与相等

复数 $z=a+bi$ 的实部为 $a$，虚部为 $b$。$b=0$ 时 $z$ 是实数；$a=0$ 且 $b\ne0$ 时 $z$ 是纯虚数。$0$ 位于实轴与虚轴的交点，但按这一定义不是纯虚数，因此实数集合与纯虚数集合不相交。

两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。复数一般没有与实数序关系相容的大小比较，因此不能随意写 $z>0$。

03 · 方法

识别复数并比较相等

1. 01

   先把式子整理成 $a+bi$ 的标准形式，利用 $i^2=-1$ 和 $i$ 的幂的周期性化简。

2. 02

   读取实部 $a$ 和虚部 $b$；判断纯虚数时同时检查 $a=0$ 与 $b\ne0$。

3. 03

   复数等式按实部、虚部分别列方程，求参数后代回检查。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界