极值与最值

01 · 出发点

局部转折与全局最值并不相同

极大值和极小值比较的是某点附近的函数值，最大值和最小值比较的是指定定义域内的全部函数值。局部最优与整体最优不能互相替代。

导数从正变负时，函数先增后减，临界点取得极大值；导数从负变正时，函数先减后增，临界点取得极小值。闭区间最值还必须比较端点。

02 · 概念

极值、最值与端点

若在 $x_0$ 左侧 $f'>0$、右侧 $f'<0$，则 $f(x_0)$ 是极大值；若左侧 $f'<0$、右侧 $f'>0$，则是极小值。仅有 $f'(x_0)=0$ 不是取得极值的充分条件。

连续函数在闭区间 $[a,b]$ 上求最值，可列出区间内部所有临界点的函数值以及 $f(a),f(b)$，比较这些有限个候选值。

03 · 方法

列出并比较全部候选值

1. 01

   求导并找出区间内部 $f'=0$ 或 $f'$ 不存在的临界点。

2. 02

   用导数符号表判断临界点是否为极值点，并计算相应函数值。

3. 03

   求闭区间最值时，把所有内部候选值与两个端点值放在同一列表比较。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界