21.2

样本相关系数

用样本相关系数量化线性相关程度，并理解它与标准化数据向量夹角的关系。

约 12 分钟统计案例

本文章目录

01 · 出发点

用标准化后的共同变化度量线性相关

散点图能够直观判断线性趋势，但比较不同量纲的数据时，还需要一个不受单位影响的数量指标。样本相关系数 $r$ 把两变量的共同变化标准化到 $-1$ 与 $1$ 之间。

$r$ 的符号表示线性趋势方向，绝对值表示点云贴近某条直线的程度。它只衡量线性相关，明显的曲线关系可能得到接近 $0$ 的 $r$ 。

02 · 概念

相关系数的范围与几何意义

把中心化数据写成向量 $\boldsymbol{x}_c=(x_i-\bar x)$ 、 $\boldsymbol{y}_c=(y_i-\bar y)$ 。当两个向量都非零时， $r$ 等于它们夹角 $\theta$ 的余弦，因此 $\lvert r\rvert\le1$ ；若任一变量为常数，离差平方和为 $0$ ， $r$ 没有定义。

相关系数不随正向单位换算而改变，但对离群点敏感。判断相关强弱时要同时查看散点图，而不能机械套用固定阈值。

03 · 方法

计算之后必须回到图形解释

01
计算两变量均值及各观测对均值的偏差。
02
求偏差乘积和以及两组偏差平方和，代入公式。
03
结合散点图解释符号、绝对值，并检查离群点与非线性形态。

04 · 例题

把方法落到具体问题

成对数据为 $(1,2),(2,4),(3,6)$ ，求样本相关系数。

解

1
均值为 $\bar x=2$ 、 $\bar y=4$ ，两组偏差分别为 $(-1,0,1)$ 与 $(-2,0,2)$ 。
2
偏差乘积和为 4；两组偏差平方和分别为 2 和 8。
3
代入 $r=\dfrac4{\sqrt{2\times8}}=1$ ，也可观察到三点都在 $y=2x$ 上。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

相关系数度量两个变量的线性相关方向和强度。
$r\in[-1,1]$ ，绝对值越接近 $1$ ，线性趋势越明显。
相关系数必须与散点图和数据背景一起解释。