导数公式与运算法则

01 · 出发点

让求导成为结构运算

每次都从差商极限求导会十分繁琐。基本初等函数的导数公式和四则运算法则把复杂函数拆成可直接处理的部分。

求导是按函数结构进行的运算。和、差、常数倍可逐项处理；乘积和商有专门法则，不能把两个函数的导数简单相乘或相除。

02 · 概念

基本公式与四则法则

常用公式包括 $(c)'=0$、$(x^n)'=nx^{n-1}$（$n\in\mathbb N^*$）、$(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$、$(e^x)'=e^x$、$(\ln x)'=\dfrac1x$。使用时要同时关注定义域。

若 $u,v$ 可导，则 $(u\pm v)'=u'\pm v'$，$(cu)'=cu'$，$(uv)'=u'v+uv'$，$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$，其中商法则要求 $v\ne0$。

03 · 方法

按最外层结构逐步求导

1. 01

   划分结构：先识别常数倍、和差、乘积或商，再标出各基本函数。

2. 02

   逐层使用对应公式，保留括号和负号，尤其注意余弦函数导数中的负号。

3. 03

   合并同类项并检查定义域；可代入简单点比较差商近似值，判断结果数量级。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界