等比数列

01 · 出发点

相邻项保持固定倍数

细胞按固定倍数增长、资产按固定利率复利变化，关注的不是每次增加同一个量，而是后一项与前一项保持同一个倍数。

等比数列刻画相对变化恒定的过程。只要前一项非零，相邻项之比为常数；通项随序号呈指数变化。

02 · 概念

公比、通项与指数变化

非零数列 $\{a_n\}$ 为等比数列，当存在非零常数 $q$，使 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$。由连续相乘得到 $a_n=a_1q^{n-1}$。

任意两项满足 $a_n=a_mq^{n-m}$。若各项非零且 $i+j=k+l$，则 $a_i a_j=a_k a_l$；三个相邻项满足 $a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}$。

03 · 方法

由已知项恢复等比数列

1. 01

   由两项作商：利用 $\dfrac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$ 求公比，并结合实数范围判断可能的 $q$。

2. 02

   恢复首项：把公比代入任一已知项，求出 $a_1$ 后写出通项。

3. 03

   检查条件：确认用作分母的项非零，并把通项代回全部已知项验证。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界