笛卡尔数学高中数学
几何画板
1.1数一数与一一对应小学数学 · 0—10 的认识1.20 的认识小学数学 · 0—10 的认识1.30—10 的读写小学数学 · 0—10 的认识1.4大小比较与排序小学数学 · 0—10 的认识1.5数的组成与分解小学数学 · 0—10 的认识2.1加法的意义小学数学 · 10 以内加减法2.210 以内加法小学数学 · 10 以内加减法

15.1

平均变化率与瞬时变化率

从割线斜率趋近切线斜率的过程理解瞬时变化率，体会极限思想。

约 12 分钟导数及其应用
本文章目录

01 · 出发点

从一段时间的平均走向某一时刻

汽车在一段时间内的平均速度不能完全描述某一时刻仪表盘上的速度。平均变化率刻画区间上的总体变化，瞬时变化率刻画区间不断缩小时某一点附近的变化。

从割线到切线的过程体现极限思想：第二个点向固定点靠近，横坐标增量趋近于 00，割线斜率若趋于确定值，这个值就是瞬时变化率。

02 · 概念

割线斜率与切线趋势

函数 y=f(x)y=f(x) 在区间 [x1,x2][x_1,x_2] 上的平均变化率是 f(x2)−f(x1)x2−x1\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}。它既考虑函数值改变量，也考虑自变量改变量。

在 x0x_0 附近令自变量增量为 hh，平均变化率为 f(x0+h)−f(x0)h\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h。若 h→0h\to0 时该比值趋于有限确定值，就得到 x0x_0 处的瞬时变化率。

03 · 方法

计算变化率并判断单位

  1. 01

    先确定区间或基准点，分别计算自变量改变量 Δx\Delta x 与函数值改变量 Δy\Delta y。

  2. 02

    写成差商 ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x} 并化简，若研究瞬时变化率则保留 h≠0h\ne0 的条件。

  3. 03

    让 hh 从正、负两侧趋近 00，判断差商是否趋向同一个有限值，并结合单位解释结果。

04 · 例题

把方法落到具体问题

例 1由割线斜率逼近瞬时速度

质点位移 s(t)=t2+2ts(t)=t^2+2t（米），求从 t=1t=1 到 t=1+ht=1+h 的平均速度，并求 t=1t=1 时的瞬时速度。

解

  1. 1

    s(1)=3s(1)=3，s(1+h)=(1+h)2+2(1+h)=3+4h+h2s(1+h)=(1+h)^2+2(1+h)=3+4h+h^2。

  2. 2

    当 h≠0h\ne0 时，平均速度 s(1+h)−s(1)h=4h+h2h=4+h\dfrac{s(1+h)-s(1)}h=\dfrac{4h+h^2}h=4+h。

  3. 3

    当 h→0h\to0 时，4+h→44+h\to4，因此 t=1t=1 时的瞬时速度为 44 米/秒。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

  • 平均变化率是区间两端对应割线的斜率。
  • 瞬时变化率是区间缩小时差商的极限。
  • 求极限时 hh 趋近于 00，但差商计算阶段保持 h≠0h\ne0。