空间向量及其运算

01 · 出发点

把平面向量推广到三维空间

空间中的位移同时具有大小和方向，仍可用向量描述。平面向量的加法、减法、数乘和数量积可以自然推广到三维空间。

在空间直角坐标系中，向量写成三个坐标分量，运算按对应分量进行。几何关系则通过长度、夹角和线性组合从坐标结果中读出。

02 · 概念

空间向量运算与数量积

设 $\boldsymbol a=(a_1,a_2,a_3),\ \boldsymbol b=(b_1,b_2,b_3)$，则 $\boldsymbol a\pm\boldsymbol b=(a_1\pm b_1,a_2\pm b_2,a_3\pm b_3)$，$\lambda\boldsymbol a=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。这些运算满足与平面向量相同的代数律。

数量积 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$，长度 $|\boldsymbol a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$。非零向量平行等价于坐标成比例，垂直等价于数量积为零。

03 · 方法

用坐标完成三维运算

1. 01

   把几何向量统一写成同一坐标系中的有序三元组，检查起点、终点顺序。

2. 02

   按分量完成线性运算或数量积，再求长度、夹角等派生量。

3. 03

   将坐标结论翻译回平行、垂直或长度关系，并用维数与符号检查结果。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界