反证法

先假设结论的否定成立，再由此推出矛盾，从而证明原结论。

约 12 分钟上海增补常用逻辑用语

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01 · 出发点

从结论的否定出发逼出矛盾

有些结论很难直接建立，却容易看出“它若不成立会造成什么后果”。反证法正是先暂时接受结论的否定，再沿着正确推理走到不可能的结果。

推出矛盾后，被否定的是最初附加的假设，而题目的已知条件仍然成立。因此原结论必须成立。存在性、唯一性和无理性证明中经常使用这一方法。

02 · 概念

要在已知条件 $H$ 下证明结论 $q$ ，先假设 $\neg q$ 成立，再把 $H$ 与 $\neg q$ 共同作为推理起点。若由此得到与已知、公理、已证事实或自身相冲突的结论，就说明 $\neg q$ 不可能成立。

矛盾必须写得具体，例如同时得到某整数既是奇数又是偶数，或得到 $0>0$ 。仅写“显然矛盾”而不指出冲突双方，会使证明链条不完整。

03 · 方法

04 · 例题

用反证法证明 $\sqrt2$ 是无理数。

解

1
假设 $\sqrt2$ 是有理数，则可写成 $\sqrt2=\frac ab$ ，其中 $a,b$ 是互质正整数。
2
两边平方得 $a^2=2b^2$ ，所以 $a^2$ 为偶数。若 $a$ 为奇数，则 $a^2$ 仍为奇数，因此由逆否关系可知 $a$ 为偶数，设 $a=2k$ 。
3
代回得到 $4k^2=2b^2$ ，即 $b^2=2k^2$ ，所以 $b$ 也为偶数。
4
于是 $a,b$ 都能被 2 整除，这与二者互质矛盾。

05 · 辨析

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