笛卡尔数学高中数学
几何画板
1.1数一数与一一对应小学数学 · 0—10 的认识1.20 的认识小学数学 · 0—10 的认识1.30—10 的读写小学数学 · 0—10 的认识1.4大小比较与排序小学数学 · 0—10 的认识1.5数的组成与分解小学数学 · 0—10 的认识2.1加法的意义小学数学 · 10 以内加减法2.210 以内加法小学数学 · 10 以内加减法

18.3

空间直角坐标系与两点距离

用三维坐标表示点和向量，并推导空间两点间的距离公式。

约 12 分钟空间向量与立体几何
本文章目录

01 · 出发点

用三个坐标定位空间中的点

在平面直角坐标系中再加入一条与原平面垂直的 zz 轴，就得到空间直角坐标系。一个有序三元组 (x,y,z)(x,y,z) 唯一确定空间中的点。

两点坐标相减得到从起点指向终点的向量。空间两点距离公式就是对这个位移向量求长度，是三维勾股关系的直接结果。

02 · 概念

三维坐标与两点距离

若 P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)P(x_1,y_1,z_1),Q(x_2,y_2,z_2)，则向量 PQ→=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)\overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)，距离为其三个分量平方和的平方根。

线段中点坐标为对应坐标的算术平均数。空间坐标运算必须建立在同一原点、同一组相互垂直且单位一致的坐标轴上。

03 · 方法

作差平方求空间长度

  1. 01

    按终点减起点写出三维位移，保持 x,y,zx,y,z 分量顺序一致。

  2. 02

    求距离时将三个差分别平方后相加开方；求中点时分别取平均。

  3. 03

    交换两点顺序复核：向量应反向而距离不变，并检查根号内非负。

04 · 例题

把方法落到具体问题

例 1求空间两点距离和中点

已知 P(1,−2,3),Q(4,2,−1)P(1,-2,3),Q(4,2,-1)，求向量 PQ→\overrightarrow{PQ}、线段 PQPQ 的长度和中点。

解

  1. 1

    终点减起点得 PQ→=(4−1,2−(−2),−1−3)=(3,4,−4)\overrightarrow{PQ}=(4-1,2-(-2),-1-3)=(3,4,-4)。

  2. 2

    距离 ∣PQ∣=32+42+(−4)2=41|PQ|=\sqrt{3^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{41}。

  3. 3

    中点坐标为 (1+42,−2+22,3−12)=(52,0,1)\left(\dfrac{1+4}2,\dfrac{-2+2}2,\dfrac{3-1}2\right)=\left(\dfrac52,0,1\right)。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

  • 空间点由有序三元组定位，三坐标顺序不可交换。
  • 终点坐标减起点坐标得到对应有向线段的向量。
  • 空间距离公式是三维勾股定理，中点按分量取平均。