随机变量的均值与方差

01 · 出发点

用两个数字概括随机变量的中心与波动

两个游戏可能有相同的平均收益，却有完全不同的风险。均值描述长期重复中的平均水平，方差描述取值围绕均值的分散程度。

随机变量的均值是各取值按概率加权的平均数；方差则把每个取值与均值的偏差平方后再加权。平方使正负偏差不会相互抵消。

02 · 概念

均值、方差与标准差

离散型随机变量 $X$ 的均值 $E(X)=\sum_i x_ip_i$。方差 $D(X)=\sum_i(x_i-E(X))^2p_i$，也可用 $E(X^2)-[E(X)]^2$ 计算。

线性变换 $Y=aX+b$ 满足 $E(Y)=aE(X)+b$、$D(Y)=a^2D(X)$。平移改变中心但不改变波动，伸缩会使方差按倍数平方变化。

03 · 方法

从分布列到数字特征

1. 01

   先核对分布列完整，再计算各取值与概率的乘积之和得到均值。

2. 02

   计算偏差平方的加权和，或使用 $E(X^2)-[E(X)]^2$ 求方差。

3. 03

   结合实际单位解释中心和波动，不只停留在计算结果。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界