数列的概念与表示

01 · 出发点

有顺序的数如何成为函数

按日期记录气温、按排数记录座位数、依次写出一个计算过程的结果，都会得到一列有先后次序的数。数值相同的项可以重复出现，但交换位置通常会改变所描述的问题。

数列既可以看作有序数表，也可以看作定义在正整数集或有限初始段 $\{1,2,\ldots,n\}$ 上的函数。项的序号是自变量，序号 $n$ 对应的函数值记作第 $n$ 项 $a_n$。

02 · 概念

序号、项与四种表示

数列的一般形式是 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_n$ 称为通项。有限数列的定义域是 $\{1,2,\ldots,n\}$，无穷数列的定义域通常是全体正整数。

数列可用列表、图象、通项公式或递推关系表示。通项公式直接给出 $n$ 与 $a_n$ 的关系；数列图象由离散点 $(n,a_n)$ 组成，不能随意连成连续曲线。

03 · 方法

从数表读出通项与结构

1. 01

   读表示：先确认数列的起始序号、项数以及给定的是通项、图象还是若干项。

2. 02

   由式求项：把指定的正整数序号代入通项公式，注意负号、幂和括号的运算顺序。

3. 03

   由项找规律：同时观察符号、绝对值、相邻项差或比，再用已知项检验猜出的通项。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界