向量的数量积

01 · 出发点

用一个数刻画两个向量的方向关系

向量的线性运算结果仍是向量，而数量积把两个向量映射为一个实数。这个数同时包含两向量的长度和夹角信息。

物理中的功等于力与位移的数量积；几何中则可借它求长度、夹角以及判断垂直。

02 · 概念

数量积的定义与坐标公式

非零向量 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 的数量积定义为 $|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$，其中 $\theta$ 是它们的夹角；零向量与任意向量的数量积为 $0$。数量积满足交换律和分配律。

若 $\boldsymbol a=(x_1,y_1)$、$\boldsymbol b=(x_2,y_2)$，则 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=x_1x_2+y_1y_2$。特别地，$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a=|\boldsymbol a|^2$，可由此计算模或夹角余弦。

03 · 方法

求长度、夹角与垂直

1. 01

   坐标已知时先计算数量积和两个模，再由 $\cos\theta=\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}$ 求夹角。

2. 02

   判断非零向量垂直时检验数量积是否为 $0$；求长度时使用 $|\boldsymbol a|^2=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a$。

3. 03

   含参数问题把数量积条件写成代数方程，解出参数后还要检查向量是否为零向量。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界