直线交点与距离公式

01 · 出发点

把几何最短长度化为坐标公式

坐标几何不仅判断对象是否相交，还要定量描述它们相隔多远。两点距离来自勾股定理，点到直线距离是所有连线中的最短长度。

两直线交点由方程组确定。平行直线之间的距离可以转化为任取一点到另一条直线的距离，公式使用前应把两条一般式的 $x,y$ 系数化为相同。

02 · 概念

交点、点线距离与平行线距离

两点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ 的距离为 $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。点 $P(x_0,y_0)$ 到 $Ax+By+C=0$ 的距离为 $\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

平行线 $Ax+By+C_1=0$ 与 $Ax+By+C_2=0$ 的距离为 $\dfrac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。若系数尚未统一，不能直接相减常数项。

03 · 方法

标准化方程后计算距离

1. 01

   求交点时联立两直线方程，消元后将坐标代回两式检查。

2. 02

   求距离时先辨认对象类型，把直线整理成 $A,B$ 不同时为零的一般式。

3. 03

   代入公式保留绝对值，化简根式，并用距离为非负数及量级直观复核。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界