圆与圆的位置关系

根据圆心距与半径关系判断两个圆的位置。

约 12 分钟直线与圆

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01 · 出发点

两圆相交、相切还是分离

两个圆的位置由圆心距 $d$ 和两个半径 $r_1,r_2$ 决定。把一个圆绕圆心保持半径不变地移动，公共点个数只会在若干临界距离处改变。

外切的临界距离是半径之和，内切的临界距离是半径之差的绝对值。位于两者之间时两圆相交于两点。

02 · 概念

$d>r_1+r_2$ 时外离， $d=r_1+r_2$ 时外切， $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ 时相交， $d=|r_1-r_2|>0$ 时内切， $0<d<|r_1-r_2|$ 时内含。

$d=0$ 时两圆同心：半径相等则重合，半径不同则没有公共点。相交两圆的公共弦所在直线可由两个圆方程相减消去 $x^2,y^2$ 得到。

03 · 方法

04 · 例题

圆 $C_1:x^2+y^2=9$ 与 $C_2:(x-4)^2+y^2=4$ 有怎样的位置关系？求其公共点。

解

1
两圆圆心分别为 $(0,0),(4,0)$ ，半径分别为 $3,2$ ，故 $d=4$ ；因为 $1<4<5$ ，两圆相交。
2
用 $C_2$ 方程减 $C_1$ 方程： $-8x+16=4-9=-5$ ，解得 $x=\dfrac{21}{8}$ 。
3
代入 $x^2+y^2=9$ ，得 $y^2=9-\dfrac{441}{64}=\dfrac{135}{64}$ ，所以 $y=\pm\dfrac{3\sqrt{15}}8$ 。

05 · 辨析

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