正切函数的图象与性质

01 · 出发点

周期为半周且带有间断边界的三角函数

正切是正弦与余弦的比。当余弦趋近于 0 时，正切的绝对值会不断增大，因此图象被若干竖直边界分成重复的支。

每一支上正切函数都严格递增，并遍历全部实数。它的最小正周期是 $\pi$，这与正弦、余弦的 $2\pi$ 周期不同。

02 · 概念

定义域、周期与单调区间

$y=\tan x$ 的定义域为 $\{x\in\mathbb R\mid x\ne\frac\pi2+k\pi,\ k\in\mathbb Z\}$，值域为 $\mathbb R$。函数是奇函数，图象关于原点以及各个零点中心对称。

正切函数最小正周期为 $\pi$，在每个区间 $\left(-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right)$ 上严格递增。区间端点是无定义位置，不属于图象。

03 · 方法

研究正切图象和方程

1. 01

   先写定义域，标出 $x=\frac\pi2+k\pi$ 的无定义边界和 $x=k\pi$ 的零点。

2. 02

   在一个基本区间 $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ 内利用关键点描出递增分支，再按 $\pi$ 周期延拓。

3. 03

   解 $\tan x=t$ 时先找一个基本解，再加 $k\pi$，并筛选题目给定范围。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界