二倍角公式

由和角公式得到二倍角关系并进行恒等变换。

约 12 分钟三角恒等变换与解三角形

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01 · 出发点

和角公式在两个角相同时的结果

令和角公式中的两个角都等于 $\alpha$ ，就得到二倍角公式。它把 $2\alpha$ 的函数值转化为 $\alpha$ 的函数值。

其中 $\cos2\alpha$ 有三种常用形式，可以根据题目只含正弦或只含余弦的结构灵活选择。

02 · 概念

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ ； $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$ 。

当 $\tan\alpha$ 有定义且 $1-\tan^2\alpha\ne0$ 时， $\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ 。反用余弦二倍角还可实现降幂。

03 · 方法

01
看到 $2\sin\alpha\cos\alpha$ 时合并为 $\sin2\alpha$ ，看到平方差时合并为 $\cos2\alpha$ 。
02
若式子只含 $\sin^2\alpha$ ，使用 $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ ；只含 $\cos^2\alpha$ 时使用另一形式。
03
求值时由已知函数值与象限补齐所需量，并检查 $2\alpha$ 所在象限。

04 · 例题

已知 $\alpha$ 为第一象限角且 $\tan\alpha=\dfrac12$ ，求 $\sin2\alpha$ 和 $\cos2\alpha$ 。

解

1
可取直角三角形两直角边为 $1$ 、 $2$ ，则斜边为 $\sqrt5$ ，所以 $\sin\alpha=\dfrac1{\sqrt5}$ ， $\cos\alpha=\dfrac2{\sqrt5}$ 。
2
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\times\dfrac1{\sqrt5}\times\dfrac2{\sqrt5}=\dfrac45$ 。
3
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\dfrac45-\dfrac15=\dfrac35$ 。

05 · 辨析

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