换底公式

01 · 出发点

把不同底数的对数统一到同一种尺度

计算器通常只提供常用对数和自然对数，却可以计算任意合法底数的对数。关键是把“以 $a$ 为底”改写为一个共同底数下的比值。

换底公式也揭示了不同底数对数函数之间只相差一个常数倍，可用于证明对数恒等式和比较数值。

02 · 概念

换底公式的推导与使用

设 $\log_a b=x$，则 $a^x=b$。对两边取以 $c$ 为底的对数，得 $x\log_c a=\log_c b$，从而 $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$。

其中 $a,c>0$ 且都不等于 1，$b>0$。令 $c=10$ 或 $c=e$ 可配合计算器；当 $b\ne1$ 时令 $c=b$，可得互为倒数关系 $\log_a b\cdot\log_b a=1$。

03 · 方法

选择新底数并化简

1. 01

   检查原底数、真数以及拟选新底数都满足对数定义条件。

2. 02

   根据已知幂关系或计算工具选择便于约分的新底数。

3. 03

   将真数的对数置于分子、原底数的对数置于分母，并用指数关系继续化简。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界