弧度制

01 · 出发点

用弧长与半径的比值度量角

角度制把一周分成 360 份，弧度制则直接用圆弧长度与半径的比值描述角。这种定义不依赖圆的大小，更适合函数与几何公式。

当弧长等于半径时，圆心角就是 1 弧度。一周弧长为 $2\pi r$，因此周角等于 $2\pi$ 弧度，建立了两种单位的转换。

02 · 概念

弧度定义与弧长、面积公式

半径为 $r$ 的圆中，若 $l$ 是沿该次旋转过程截取的弧长（可以跨越多周），则圆心角 $\alpha$ 的弧度数满足 $|\alpha|=\frac lr$；方向仍由正负号表示。 $180^\circ=\pi\text{ rad}$，$1^\circ=\frac\pi{180}\text{ rad}$。

当 $\alpha$ 使用弧度时，弧长 $l=r|\alpha|$；对 $0\leq|\alpha|\leq2\pi$ 的普通扇形，面积 $S=\frac12r^2|\alpha|$。多周旋转若使用同一面积式，表示按旋转重数累计的扫过面积，不是单个普通扇形面积。

03 · 方法

转换角度并计算圆弧量

1. 01

   角度转弧度时乘 $\frac\pi{180}$，弧度转角度时乘 $\frac{180}\pi$。

2. 02

   统一角的单位后，再代入弧长或扇形面积公式。

3. 03

   检查弧长和面积为非负量，并补上长度或面积单位。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界