等式与不等式的性质

01 · 出发点

等式保持相等，不等式还要关注方向

解方程和解不等式都要进行等价变形，但两者并非完全相同。等式两边加上同一个数或乘同一个非零数仍相等；不等式两边乘负数时，大小方向必须反转。

每一次变形都应说明依据并检查条件。分母、平方、开方等操作可能引入限制，只有保持解集不变的变形才能直接使用“等价”连接。

02 · 概念

等式与不等式的基本性质

若 $a=b$，则两边同加同一式或同乘同一式仍相等；反过来，从 $ac=bc$ 消去 $c$ 时必须保证 $c\ne0$。等式具有对称性和传递性。

若 $a>b$，则 $a+c>b+c$；当 $c>0$ 时 $ac>bc$，当 $c<0$ 时 $ac<bc$。两个同向不等式可以相加；若 $a>b>0$、$c>d>0$，则 $ac>bd$；若 $a>b>0$，则 $\frac1a<\frac1b$。相乘与取倒数都必须先核对正负条件。

03 · 方法

进行关系式变形的检查顺序

1. 01

   先识别操作是加减、乘除、乘方还是开方，并写出操作成立所需的条件。

2. 02

   处理不等式的乘除时先确定乘数或除数符号，再决定不等号是否变向。

3. 03

   变形结束后检查是否出现分母为零、平方增根或遗漏边界，并用原关系验证所得结果。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界