简单参数方程

用参数表示直线、圆等简单曲线，并在参数方程与普通方程之间转换。

约 12 分钟上海增补直线与圆

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01 · 出发点

让第三个变量带着点沿曲线运动

普通方程直接约束 $x,y$ ，参数方程则让 $x,y$ 同时由第三个变量 $t$ 决定。随着 $t$ 变化，点 $(x(t),y(t))$ 描出曲线。

参数可以表示时间、转角或有向位移。它不仅描述曲线上的点集，还能携带运动方向和取值范围；消去参数时这些附加信息不能丢失。

02 · 概念

过点 $(x_0,y_0)$ 、方向向量 $\boldsymbol s=(a,b)\ne(0,0)$ 的直线可写 $x=x_0+at,\ y=y_0+bt$ 。圆心 $(h,k)$ 、半径 $R>0$ 的圆可写 $x=h+R\cos t,\ y=k+R\sin t$ 。

参数方程化普通方程通常通过代入、消元或恒等式 $\sin^2t+\cos^2t=1$ 。普通方程参数化则需选择能自动满足方程的参数表达，并写明参数范围。

03 · 方法

04 · 例题

已知 $x=1+2t,\ y=3-t$ （ $t\in\mathbb R$ ），化为普通方程，并求 $t=2$ 时的点。

解

1
由 $x=1+2t$ 解得 $t=\dfrac{x-1}2$ 。
2
代入 $y=3-t$ ，得 $y=3-\dfrac{x-1}2$ ，即 $x+2y-7=0$ ；因 $t$ 遍历 $\mathbb R$ ，所得是整条直线。
3
当 $t=2$ 时， $x=5,y=1$ ；代入普通方程得 $5+2-7=0$ 。

05 · 辨析

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