平面向量的投影与投影向量

01 · 出发点

一个向量在指定方向上贡献多少

斜向的力推动物体水平移动时，真正沿运动方向起作用的是力在水平方向上的分量。投影用来刻画这种方向上的有效贡献。

数量投影带有正负号，记录投影与指定方向同向还是反向；投影向量则把这个有符号长度重新放回指定方向。

02 · 概念

数量投影与投影向量

非零向量 $\boldsymbol b$ 确定一个方向，$\boldsymbol a$ 在 $\boldsymbol b$ 上的数量投影定义为 $\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|}$，它是实数，可能为负或零；当 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 均非零时，它也等于 $|\boldsymbol a|\cos\theta$。$\boldsymbol a=\boldsymbol 0$ 时投影为 $0$，但不再谈两向量夹角。

$\boldsymbol a$ 在 $\boldsymbol b$ 上的投影向量为 $\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|^2}\boldsymbol b$。它与 $\boldsymbol b$ 共线；$\boldsymbol a$ 减去该投影向量所得分量与 $\boldsymbol b$ 垂直。

03 · 方法

分解平行与垂直分量

1. 01

   先确认作为投影方向的向量 $\boldsymbol b$ 非零，再计算 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 与 $|\boldsymbol b|^2$。

2. 02

   代入公式得到平行分量 $\boldsymbol p$，再令垂直分量 $\boldsymbol q=\boldsymbol a-\boldsymbol p$。

3. 03

   用 $\boldsymbol q\cdot\boldsymbol b=0$ 检验垂直分量，并检查 $\boldsymbol p+\boldsymbol q$ 是否还原 $\boldsymbol a$。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界