函数图象的变换

01 · 出发点

从基本图象追踪每一次坐标变化

复杂函数图象常可由熟悉的基本图象经过平移、伸缩和翻折得到。变换规则本质上描述原图象点的坐标如何改变。

自变量内部的变化作用于横坐标，函数外部的变化作用于纵坐标。横向变换常与式子中的直觉方向相反，因此最好用对应点核验。

02 · 概念

平移、伸缩与翻折

$y=f(x-h)+k$ 是把 $y=f(x)$ 按向量 $(h,k)$ 平移：$h>0$ 向右、$h<0$ 向左，$k>0$ 向上、$k<0$ 向下；$y=af(x)$ 把纵坐标乘 $a$，$a<0$ 时还关于 $x$ 轴翻折。

当 $b\ne0$ 时，$y=f(bx)$ 使原图象横坐标除以 $b$；$b<0$ 时还关于 $y$ 轴翻折。多重变换应按表达式结构追踪点，而不是只背一句固定顺序。

03 · 方法

画复合变换函数图象

1. 01

   选定基本函数及其顶点、零点或端点等特征点。

2. 02

   根据内部 $bx+c$ 求新横坐标，根据外部乘数与加数求新纵坐标，同时记录翻折和伸缩。

3. 03

   描出变换后的特征点与整体形状，并用定义域、值域和对称轴检查图象。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界