复数的三角表示

01 · 出发点

用模与辐角表示复数

非零复数在复平面中既可由直角坐标 $(a,b)$ 描述，也可由到原点的距离 $r$ 和方向角 $\theta$ 描述。后一方式就是复数的三角表示。

三角表示尤其适合乘除运算：模相乘或相除，辐角相加或相减，几何上对应伸缩与旋转。

02 · 概念

三角形式、辐角与乘除法

非零复数 $z=a+bi$ 可写成 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中 $r=|z|>0$，$\theta$ 满足 $\cos\theta=\dfrac ar$、$\sin\theta=\dfrac br$。$\theta$ 的所有值相差 $2k\pi$。

两个非零复数相乘时模相乘、辐角相加；相除时模相除、辐角相减。由此可得棣莫弗公式 $[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$，其中 $n\in\mathbb Z$；负整数次幂要求 $z\ne0$。

03 · 方法

在代数形式与三角形式间转换

1. 01

   由 $a+bi$ 先算 $r=\sqrt{a^2+b^2}$，再由点所在象限和正余弦值确定辐角。

2. 02

   乘除时分别处理模与辐角，最后按题意保留三角形式或展开为 $a+bi$。

3. 03

   幂运算使用棣莫弗公式，并将角化到易识别范围检查周期性。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界