14.2 数列的递推关系 | 笛卡尔数学

01 · 出发点

从前一项生成后一项

有些数列的后一项由前一项加工得到，例如余额逐月计息、图形逐层增加边数。此时逐项生成比直接写出第 $n$ 项更自然。

递推公式描述相邻项或若干相邻项之间的关系，但仅有递推关系通常不足以唯一确定数列，还必须给出足够的初始项。

02 · 概念

一阶递推常写成 $a_{n+1}=F(a_n,n)$ ，配合 $a_1$ 可逐步得到所有后续项。若 $a_{n+2}$ 同时依赖 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ ，则一般需要两个初始项。

递推表示适合生成项和研究相邻关系，通项表示适合直接求远处的项。二者可以互相转化，但转化是否容易取决于递推结构。

03 · 方法

04 · 例题

数列满足 $a_1=2$ ， $a_{n+1}=2a_n-1$ ，求 $a_2,a_3,a_4$ 。

解

1
在 $n=1$ 时应用递推式： $a_2=2a_1-1=2\times2-1=3$ 。
2
在 $n=2$ 时继续迭代： $a_3=2a_2-1=2\times3-1=5$ 。
3
在 $n=3$ 时得到 $a_4=2a_3-1=2\times5-1=9$ ，并逐对检查 $3=2\times2-1,\ 5=2\times3-1,\ 9=2\times5-1$ 。

05 · 辨析

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