双曲线的定义与方程

01 · 出发点

距离之差固定为何出现两支

如果动点到两个定点的距离之差的绝对值保持不变，点不能围成封闭曲线，而会分布在两条分离的分支上，这就是双曲线。

定义中的绝对值不可省略，它对应左右两支。距离差常数 $2a$ 必须小于焦距 $2c$；等于焦距时，轨迹退化为两条以焦点为端点、分别背向另一焦点的射线。

02 · 概念

焦点定义与标准方程

平面内到 $F_1,F_2$ 的距离之差的绝对值为常数 $2a$，且 $0<2a<|F_1F_2|=2c$ 的点的轨迹是双曲线。令 $b^2=c^2-a^2$。

焦点在 $x$ 轴时标准方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$；焦点在 $y$ 轴时为 $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$。正项所在轴就是实轴和焦点轴。

03 · 方法

由焦点和距离差确定双曲线

1. 01

   由焦点确定焦点轴与 $c$，由距离差的绝对值确定 $a$，并检查 $0<a<c$。

2. 02

   计算 $b^2=c^2-a^2$，正项放在焦点轴对应坐标的平方项下。

3. 03

   写出标准方程后用顶点检验距离差，并确认定义使用绝对值。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界