双曲线的几何性质

01 · 出发点

渐近线如何刻画远处方向

双曲线的两支无限延伸，却会逐渐靠近两条固定直线，这两条直线称为渐近线。标准方程同时给出开口方向、顶点、焦点与渐近线斜率。

双曲线离心率 $e=\dfrac ca$ 大于 $1$。离心率越大，在固定实轴尺度下焦点越远，分支张开程度也相应变化。

02 · 概念

顶点、渐近线与离心率

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的范围为 $|x|\ge a$，顶点为 $(\pm a,0)$，焦点为 $(\pm c,0)$，渐近线为 $y=\pm\dfrac ba x$。图形关于两坐标轴和原点对称。

$\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$ 沿 $y$ 轴开口，顶点、焦点在 $y$ 轴，渐近线为 $y=\pm\dfrac ab x$。渐近线可由把方程右侧 $1$ 改成 $0$ 后分解得到。

03 · 方法

从正项位置读取开口

1. 01

   化标准式后看正项确定开口轴，并从正项分母读取 $a^2$、负项分母读取 $b^2$。

2. 02

   由 $c^2=a^2+b^2$ 求焦点，列顶点、范围和 $e=\dfrac ca$。

3. 03

   令对应齐次二次式等于 0 求渐近线，并按开口方向检查斜率形式。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界