全称量词与存在量词

01 · 出发点

用量词说明究竟讨论多少个对象

“每一个实数都满足”与“至少有一个实数满足”看似只差几个字，证明任务却完全不同。前者要覆盖给定范围内的全部对象，后者只要求找到一个对象。

全称量词和存在量词把对象范围与性质绑定在一起。书写时若省略范围，同一个式子可能得到不同的真假判断。

02 · 概念

全称命题与存在命题

全称命题写成“对任意 $x\in M$，$p(x)$ 成立”，记作 $\forall x\in M,\ p(x)$。证明它通常要任取一个 $x$，并作不依赖特殊取值的推导；推翻它只需一个反例。

存在命题写成“存在 $x\in M$，使 $p(x)$ 成立”，记作 $\exists x\in M,\ p(x)$。证明它可以构造一个满足条件的对象；判定它为假则要说明范围内所有对象都不满足性质。

03 · 方法

根据量词选择证明任务

1. 01

   先标出论域 $M$、量词类型以及对象要满足的性质 $p(x)$。

2. 02

   处理全称命题时任取一般对象推导；若要否定真假，则优先搜索边界值、特殊值或反号值作为反例。

3. 03

   处理存在命题时构造并核验一个对象；若认为不存在，则需要覆盖整个论域作统一排除。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界