笛卡尔数学高中数学
几何画板
1.1数一数与一一对应小学数学 · 0—10 的认识1.20 的认识小学数学 · 0—10 的认识1.30—10 的读写小学数学 · 0—10 的认识1.4大小比较与排序小学数学 · 0—10 的认识1.5数的组成与分解小学数学 · 0—10 的认识2.1加法的意义小学数学 · 10 以内加减法2.210 以内加法小学数学 · 10 以内加减法

8.2

向量的线性运算

掌握向量加法、减法和数乘的几何意义与运算规则。

约 12 分钟平面向量
本文章目录

01 · 出发点

把连续位移合成为一个位移

从 AA 到 BB 再从 BB 到 CC，两次位移的总效果等于从 AA 直接到 CC。向量加法正是对这种合成关系的抽象。

减去一个向量等于加上它的相反向量；数乘则同时改变向量的长度，并可能改变方向。这三种运算构成向量线性运算。

02 · 概念

加法、减法与数乘

向量加法可用三角形法则或平行四边形法则表示，并满足交换律和结合律。向量 a−b\boldsymbol a-\boldsymbol b 定义为 a+(−b)\boldsymbol a+(-\boldsymbol b)。

实数 λ\lambda 与向量 a\boldsymbol a 的积 λa\lambda\boldsymbol a 的模为 ∣λ∣∣a∣|\lambda||\boldsymbol a|；λ>0\lambda>0 时同向，λ<0\lambda<0 时反向，λ=0\lambda=0 时结果为零向量。数乘对向量加法和数的加法满足分配律。

03 · 方法

进行线性运算

  1. 01

    几何作图时先平移向量使其首尾相接，再连接总起点和总终点。

  2. 02

    含减法的式子先改写为加相反向量，或利用同起点向量的终点连线理解。

  3. 03

    化简代数式时使用交换律、结合律和分配律合并同类向量，同时保留向量符号。

04 · 例题

把方法落到具体问题

例 1用边向量表示中点向量

在三角形 ABCABC 中，DD 是 BCBC 的中点。用向量 AB→\overrightarrow{AB}、AC→\overrightarrow{AC} 表示 AD→\overrightarrow{AD}。

解

  1. 1

    由三角形法则，AD→=AB→+BD→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}。

  2. 2

    DD 是 BCBC 的中点，所以 BD→=12BC→\overrightarrow{BD}=\dfrac12\overrightarrow{BC}；又有 BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}。

  3. 3

    代入并合并：AD→=AB→+12(AC→−AB→)=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\dfrac12(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

  • 向量加法表示位移合成。
  • 向量减法就是加相反向量。
  • 数乘改变模并由系数符号决定方向。