复数的四则运算

01 · 出发点

按代数规则运算并用共轭实化分母

复数加减乘法可像多项式一样展开，只需把 $i^2$ 替换为 $-1$。除法的难点是分母含 $i$，需要借助共轭复数把分母化为实数。

复数 $z=a+bi$ 的共轭记作 $\bar z$，等于 $a-bi$。共轭只改变虚部符号，并与四则运算有良好相容性。

02 · 概念

四则运算与共轭复数

加减法分别合并实部与虚部；乘法展开后使用 $i^2=-1$。两个共轭复数的乘积 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ 是非负实数。

除以非零复数 $c+di$ 时，分子分母同乘 $c-di$，分母成为 $c^2+d^2$，再整理为标准形式。该过程相当于复数分母有理化。

03 · 方法

规范完成复数运算

1. 01

   加减乘先按代数规则展开，再将 $i$ 的幂化为 $1,i,-1,-i$ 的周期形式。

2. 02

   除法识别分母的共轭，分子分母同时相乘，不能只改变分母。

3. 03

   最终整理为 $a+bi$，并可用共轭或反向乘法检查结果。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界