18.6 用向量证明平行与垂直

01 · 出发点

把空间证明转化为比例和内积

空间几何证明可把图形中的平行、垂直关系转化为向量成比例或数量积为零。这样能减少对辅助线和空间直观的依赖。

证明线面关系时不能只验证直线与平面内一条直线的关系。线面垂直需要垂直于平面内两条相交直线，线面平行则要找到平面内与该直线平行的方向。

02 · 概念

两非零方向向量成比例可证明直线平行，数量积为零可证明直线垂直。直线方向向量 $\boldsymbol s$ 与平面法向量 $\boldsymbol n$ 平行时线面垂直， $\boldsymbol s\cdot\boldsymbol n=0$ 且直线不在平面内时线面平行。

两平面法向量平行时两平面平行或重合，法向量数量积为零时两平面垂直。使用坐标法还要说明对象不重合、不包含等位置前提。

03 · 方法

04 · 例题

平面 $\alpha$ 内两条相交直线 $m,n$ 的方向向量分别为 $\boldsymbol u=(1,1,0),\ \boldsymbol v=(1,0,1)$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $\boldsymbol w=(1,-1,-1)$ 。证明 $l\perp\alpha$ 。

解

1
题设给出 $m,n$ 位于平面 $\alpha$ 内且相交； $\boldsymbol u,\boldsymbol v$ 不成比例，与这一位置关系一致。
2
计算 $\boldsymbol w\cdot\boldsymbol u=1-1+0=0$ ， $\boldsymbol w\cdot\boldsymbol v=1+0-1=0$ ，因此 $l\perp m$ 且 $l\perp n$ 。
3
因为 $m,n$ 是平面 $\alpha$ 内两条相交直线，由线面垂直判定定理得到 $l\perp\alpha$ 。

05 · 辨析

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