笛卡尔数学高中数学
几何画板
1.1数一数与一一对应小学数学 · 0—10 的认识1.20 的认识小学数学 · 0—10 的认识1.30—10 的读写小学数学 · 0—10 的认识1.4大小比较与排序小学数学 · 0—10 的认识1.5数的组成与分解小学数学 · 0—10 的认识2.1加法的意义小学数学 · 10 以内加减法2.210 以内加法小学数学 · 10 以内加减法

18.5

方向向量与法向量

用方向向量表示直线，用法向量表示平面方向。

约 12 分钟空间向量与立体几何
本文章目录

01 · 出发点

用向量编码直线和平面的方向

一条直线的方向可由任一与它平行的非零向量代表；一个平面的朝向可由任一与它垂直的非零向量代表。它们分别称为方向向量和法向量。

方向向量与法向量都不唯一，任意非零倍数仍表示同一方向。选择分量简单的代表通常能显著减少空间解析几何的计算。

02 · 概念

方向向量、法向量与方程

过点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)、方向向量 s=(l,m,n)\boldsymbol s=(l,m,n) 的直线可参数化为 (x,y,z)=P0+ts(x,y,z)=P_0+t\boldsymbol s。法向量 n=(A,B,C)\boldsymbol n=(A,B,C) 的平面可写 A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0。

平面内任意两个不共线向量都与法向量垂直。已知三个不共线点时，可先取两条平面内方向向量，再求一个同时与二者垂直的非零向量。

03 · 方法

从几何对象提取方向信息

  1. 01

    求直线方向向量时可取线上两点之差；求平面法向量时取平面内两个不共线向量。

  2. 02

    设法向量 n=(A,B,C)\boldsymbol n=(A,B,C)，利用它与两个平面内向量数量积均为零求一组非零解。

  3. 03

    把法向量和平面上一点代入点法式，并用其余已知点代回验证。

04 · 例题

把方法落到具体问题

例 1由三点求平面法向量和方程

求过 A(1,0,2),B(0,1,2),C(1,1,1)A(1,0,2),B(0,1,2),C(1,1,1) 的平面的一个法向量及方程。

解

  1. 1

    取 AB→=(−1,1,0), AC→=(0,1,−1)\overrightarrow{AB}=(-1,1,0),\ \overrightarrow{AC}=(0,1,-1)，二者不成比例，能确定平面方向。

  2. 2

    向量 n=(1,1,1)\boldsymbol n=(1,1,1) 满足 n⋅AB→=−1+1=0\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{AB}=-1+1=0，n⋅AC→=1−1=0\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{AC}=1-1=0，所以可作法向量。

  3. 3

    用点 AA 写 (x−1)+y+(z−2)=0(x-1)+y+(z-2)=0，整理为 x+y+z−3=0x+y+z-3=0；代入 B,CB,C 均成立。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

  • 直线用非零方向向量表示方向，平面用非零法向量表示朝向。
  • 平面法向量同时垂直于平面内两个不共线向量。
  • 一个法向量加平面上一点可写出平面的点法式方程。