二次函数、方程与不等式

01 · 出发点

用一条抛物线连接三类二次问题

二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 寻找图象与横轴的交点，一元二次不等式研究图象位于横轴哪一侧，二次函数则描述整条抛物线。三者共享相同的系数、零点和判别式。

这一节先建立方程、函数与图象之间的对应关系；具体的不等式符号表和解集分类留到下一节处理。把代数式看成函数值后，每个代数结论都能在图象上找到位置。

02 · 概念

方程实根、函数零点与横轴交点

对于 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），方程 $ax^2+bx+c=0$ 的每个实根，恰好是函数 $f$ 的零点，也对应抛物线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。三种说法描述的是同一对象。

判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 决定实零点和横轴交点的个数：$\Delta>0$ 时有两个不同实根，$\Delta=0$ 时有一个二重根且抛物线与横轴相切，$\Delta<0$ 时没有实根且抛物线不与横轴相交。

03 · 方法

建立二次式的代数与图象档案

1. 01

   把所有项移到一边并确定二次项系数，记作 $f(x)=ax^2+bx+c$。

2. 02

   用因式分解或求根公式求出实根，并用判别式判断或核验实根个数，再把实根解释为函数零点和横轴交点横坐标。

3. 03

   用二次项系数判断开口，用配方确定顶点与对称轴，再结合截距画出相互一致的草图。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界