笛卡尔数学高中数学
几何画板
1.1数一数与一一对应小学数学 · 0—10 的认识1.20 的认识小学数学 · 0—10 的认识1.30—10 的读写小学数学 · 0—10 的认识1.4大小比较与排序小学数学 · 0—10 的认识1.5数的组成与分解小学数学 · 0—10 的认识2.1加法的意义小学数学 · 10 以内加减法2.210 以内加法小学数学 · 10 以内加减法

7.3

三角函数的概念

借助单位圆坐标定义任意角的正弦、余弦和正切。

约 12 分钟三角函数
本文章目录

01 · 出发点

用单位圆坐标定义任意角的三角函数

直角三角形中的边长比只能直接处理锐角。把角的终边与单位圆相交，交点坐标就能为任意角定义正弦和余弦。

单位圆方法同时展示了函数值符号、取值范围和周期性。终边相同的角落在同一点，因此具有相同三角函数值。

02 · 概念

正弦、余弦与正切的定义

角 α\alpha 的终边与单位圆交于 P(x,y)P(x,y)，定义 cos⁡α=x\cos\alpha=x、sin⁡α=y\sin\alpha=y；当 x≠0x\ne0 时，tan⁡α=yx\tan\alpha=\frac yx。正切在终边位于 yy 轴时无定义。

由单位圆坐标可知 sin⁡α\sin\alpha、cos⁡α\cos\alpha 的值域均为 [−1,1][-1,1]。各象限符号由 x,yx,y 正负决定：第一象限全正，第二象限正弦正，第三象限正切正，第四象限余弦正。

03 · 方法

由终边信息求三角函数值

  1. 01

    把终边上的点归一化到单位圆，或用点坐标除以到原点距离 rr。

  2. 02

    根据所在象限确定正弦、余弦和正切的符号。

  3. 03

    代入坐标定义计算，并检查正弦、余弦绝对值不超过 1、正切分母不为零。

04 · 例题

把方法落到具体问题

例 1由单位圆点坐标求值

角 α\alpha 的终边与单位圆交于 P(−35,45)P\left(-\frac35,\frac45\right)，求 sin⁡α\sin\alpha、cos⁡α\cos\alpha、tan⁡α\tan\alpha。

解

  1. 1

    点坐标满足 (−35)2+(45)2=1\left(-\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2=1，确实位于单位圆上。

  2. 2

    由定义，横坐标给出 cos⁡α=−35\cos\alpha=-\frac35，纵坐标给出 sin⁡α=45\sin\alpha=\frac45。

  3. 3

    横坐标非零，所以 tan⁡α=45−35=−43\tan\alpha=\dfrac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

  • 单位圆交点纵坐标是正弦，横坐标是余弦。
  • 正切等于正弦与余弦之比且要求余弦非零。
  • 象限决定三角函数值的符号。