分式与含绝对值不等式

01 · 出发点

用临界点处理分母与绝对值

分式不等式的符号由分子、分母共同决定，分母为零的位置永远不能取；绝对值不等式则描述数轴上的距离，需要按临界距离展开。

这两类问题都强调边界：分式的零点和无定义点会切分区间，绝对值内部为零或外部常数会决定分类。明确边界后再逐段判断，比盲目去分母更稳妥。

02 · 概念

符号表与距离解释

求解有理式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 与 0 的大小关系时，把 $P$、$Q$ 的实零点按顺序标在数轴上，逐区间判断各因子符号。 $P$ 的零点可在非严格不等式中取到，$Q$ 的零点始终排除。

当 $a>0$ 时，$|u|<a\Longleftrightarrow-a<u<a$，$|u|>a$ 等价于 $u>a$ 或 $u<-a$；带等号时相应改为非严格不等式。若右端为负数，应先依据 $|u|\geq0$ 判断解集。

03 · 方法

识别类型并控制临界点

1. 01

   分式题先移项通分为一个分式与 0 比较，列出分子零点与分母无定义点，再作符号表。

2. 02

   绝对值题先把一个绝对值项单独放在一边，根据右端符号和 $<$、$>$ 类型改写为区间或并集。

3. 03

   完成后逐一检查等号端点：分子零点按题意决定，分母零点永远剔除，绝对值端点按严格性决定。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界